• Conjuntos numéricos: naturales, enteros, racionales, irracionales y reales
• Propiedades de las operaciones (conmutativa, asociativa, distributiva)
• Orden en los números reales
• Múltiplos y Divisores
• MCD y mcm

• Operaciones con fracciones (suma, resta, multiplicación, división)
• Conversión entre fracciones y decimales
• Porcentajes y aplicaciones prácticas

• Leyes de los exponentes
• Raíces y propiedades radicales
• Notación científica

• Concepto de razón y proporción
• Aplicaciones de la regla de tres simple y compuesta

• Proposiciones y conectores lógicos (conjunción, disyunción, negación, implicación)
• Tablas de verdad
• Razonamiento deductivo e inductivo

• Concepto de conjunto y notación
• Operaciones con conjuntos (unión, intersección, complemento, diferencia)
• Diagramas de Venn

• Definición y propiedades del valor absoluto
• Resolución de ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

• Concepto de operación binaria
• Ejemplos básicos de estructuras (grupos, anillos, cuerpos)

• Monomios: Definición, características y ejemplos.
• Polinomios: Definición, clasificación (binomios, trinomios) y grado.
• Términos semejantes
• Simplificación de expresiones
• Evaluación de expresiones
• Operaciones con expresiones algebraicas:
  • Simplificación de términos semejantes.
  • Suma, resta, multiplicación y división de polinomios.
• Factorización: Métodos básicos (factor común, productos notables, agrupación).

• Ecuaciones lineales
• Sistemas de ecuaciones lineales (métodos de solución: sustitución, igualación, reducción)
• Ecuaciones cuadráticas (fórmula general, factorización, completar el cuadrado)

• Resolución de desigualdades lineales
• Intervalos y notación de conjuntos
• Sistemas de desigualdades

• Concepto de función
• Gráficas de funciones
• Dominio y rango
• Funciones lineales, cuadráticas, polinómicas
• Funciones exponenciales y logarítmicas
• Funciones compuestas e inversas

• Definición y propiedades básicas
• Cambio de base​
• Aplicaciones prácticas:
  • Resolución de ecuaciones exponenciales
  • Modelado de fenómenos naturales (crecimiento, decaimiento)
  • Escalas logarítmicas

• Interés simple y compuesto
• Anualidades y amortizaciones
• Valor presente y valor futuro
• Aplicaciones prácticas: préstamos, inversiones, ahorros

• Introducción a la unidad imaginaria $i$
• Forma binómica: $a+bi$
• Operaciones básicas con números complejos
• Conjugado de un número complejo
• Módulo y representación gráfica
• Ecuaciones con soluciones complejas
• Forma polar y trigonométrica
• Teorema de De Moivre (opcional, para nivel avanzado)

• Operaciones con matrices
• Determinantes y sus propiedades

• Métodos de solución (Gauss-Jordan, matriz inversa)
• Interpretación geométrica

• Vectores en el plano y en el espacio
• Dependencia e independencia lineal

• Definición y tipos (aritméticas, geométricas, recursivas)
• Convergencia y divergencia
• Límites de sucesiones

• Definición y tipos (finitas, infinitas)
• Convergencia y criterios de convergencia
• Series especiales: geométrica, armónica, telescópica

• Representación de funciones mediante series de potencias
• Radio de convergencia
• Series de Taylor y Maclaurin

• Aproximación de funciones
• Resolución de ecuaciones diferenciales mediante series

• Axiomas de Euclides

• Figuras planas: triángulos, polígonos, circunferencias

• Cuerpos tridimensionales: prismas, pirámides, esferas, etc.

• Teoremas clásicos (Pitágoras, Tales, etc.)

• Construcciones con regla y compás

• Aplicaciones históricas (medición de tierras, astronomía)

• Sistema de coordenadas cartesianas

• Representación de puntos, rectas, parábolas, circunferencias

• Intersecciones y distancias

• Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

• Vectores en el plano y el espacio

• Curvas parametrizables

• Aplicaciones modernas: física, ingeniería, diseño gráfico

• Razones trigonométricas: seno, coseno, tangente

• Relaciones fundamentales (identidades trigonométricas)

• Círculo trigonométrico

• Teoremas del seno y del coseno

• Ecuaciones trigonométricas

• Aplicaciones prácticas: medición de alturas, navegación, astronomía, ondas

• • Espacios topológicos y conjuntos abiertos
  • Continuidad y homeomorfismos
  • Propiedades topológicas básicas (conexión, compacidad)

• Grupos fundamentales
• Homología y cohomología
• Clasificación de superficies

• Teoría de nudos
• Topología en física (teoría cuántica de campos, relatividad general)
• Optimización y análisis de datos

• • Definición y propiedades
  • Límites laterales
  • Continuidad

• Concepto de derivada: tasa de cambio instantánea
• Reglas de derivación (potencia, producto, cociente, cadena)
• Derivadas de funciones elementales (polinómicas, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas)

• Recta tangente y normal
• Máximos y mínimos: optimización
• Análisis de funciones: crecimiento, concavidad, puntos de inflexión

• Segunda derivada y su interpretación física (aceleración)
• Aplicaciones en problemas dinámicos

• • Concepto de primitiva
  • Reglas básicas de integración

• Teorema Fundamental del Cálculo
• Área bajo la curva

• Cálculo de áreas y volúmenes
• Aplicaciones físicas (trabajo, fuerza)

• • Definición y clasificación (EDO vs. EDP, orden, linealidad)
  • Ejemplos de modelado con ecuaciones diferenciales

• Separación de variables
• Ecuaciones lineales de primer orden (factor integrante)
• Aplicaciones: crecimiento poblacional, enfriamiento de Newton

• Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
• Soluciones por autovalores y autovectores
• Aplicaciones: oscilador armónico, sistemas masa-resorte

• Método de Euler
• Método de Runge-Kutta

• Ecuación del calor
• Ecuación de onda
• Aplicaciones en física e ingeniería

• Definición de optimización : Maximizar o minimizar una función objetivo sujeta a restricciones.
• Tipos de problemas de optimización :
  • Lineales vs. no lineales.
  • Continuos vs. discretos.
• Aplicaciones prácticas :
  • Economía: maximización de ganancias, minimización de costos.
  • Ingeniería: diseño óptimo de sistemas.
  • Logística: rutas de transporte eficientes.
  • Ciencias de la vida: modelado de sistemas biológicos.

• Conceptos básicos :
  • Función objetivo: La función lineal que se quiere maximizar o minimizar.
  • Restricciones: Inecuaciones lineales que definen la región factible.
  • Región factible: Conjunto de soluciones que satisfacen todas las restricciones.
• Formulación de problemas :
  • Ejemplos prácticos (producción, asignación de recursos, etc.).
  • Representación matricial: cTx sujeto a $A\mathbf{x}\le \mathbf{b}$ .
• Métodos de resolución :
  • Solución gráfica : Para problemas con dos variables.
  • Método simplex : Algoritmo para resolver problemas de PL en dimensiones más altas.
  • Método de punto interior : Alternativa al simplex para problemas grandes.
• Interpretación geométrica :
  • La región factible como un poliedro convexo.
  • Soluciones óptimas en vértices del poliedro.
• Extensiones :
  • Programación entera: Variables deben ser números enteros.
  • Programación mixta: Combinación de variables continuas y enteras.

• Conceptos básicos :
  • Función objetivo: La función lineal que se quiere maximizar o minimizar.
  • Restricciones: Inecuaciones lineales que definen la región factible.
  • Región factible: Conjunto de soluciones que satisfacen todas las restricciones.
• Formulación de problemas :
  • Ejemplos prácticos (producción, asignación de recursos, etc.).
  • Representación matricial: cTx sujeto a $A\mathbf{x}\le \mathbf{b}$ .
• Métodos de resolución :
  • Solución gráfica : Para problemas con dos variables.
  • Método simplex : Algoritmo para resolver problemas de PL en dimensiones más altas.
  • Método de punto interior : Alternativa al simplex para problemas grandes.
• Interpretación geométrica :
  • La región factible como un poliedro convexo.
  • Soluciones óptimas en vértices del poliedro.
• Extensiones :
  • Programación entera: Variables deben ser números enteros.
  • Programación mixta: Combinación de variables continuas y enteras.

• Los métodos iterativos son técnicas que utilizan procesos repetitivos (iteraciones) para encontrar soluciones aproximadas a problemas matemáticos. En lugar de calcular la solución directamente, estos métodos comienzan con una estimación inicial y mejoran progresivamente la aproximación hasta alcanzar un nivel deseado de precisión.

   

  Ejemplos de métodos iterativos:

  • Método de Newton-Raphson : Para encontrar raíces de ecuaciones no lineales. Comienza con una estimación inicial y utiliza la derivada de la función para mejorar la aproximación en cada paso.
    • Fórmula: xn+1​=xn​−f′(xn​)f(xn​)​
  • Método de Gauss-Seidel : Para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Actualiza las variables una por una en cada iteración.
  • Método de punto fijo : Resuelve ecuaciones reescribiéndolas en forma de $x=g(x)$ y aplicando iteraciones sucesivas.
   

  Aplicaciones:

  • Resolver ecuaciones no lineales.
  • Encontrar valores propios de matrices.
  • Optimización numérica.

La interpolación es una técnica para estimar valores desconocidos dentro de un conjunto de datos conocidos. Consiste en construir una función que “pase” por los puntos dados y permita predecir valores intermedios.

Ejemplos de interpolación:

• Interpolación polinomial : Construye un polinomio que pasa exactamente por los puntos dados. Por ejemplo, si tienes tres puntos, puedes ajustar un polinomio cuadrático.
  • Método común: Polinomio de Lagrange o Diferencias divididas de Newton .
• Interpolación lineal : Ajusta una línea recta entre dos puntos consecutivos para estimar valores intermedios.

Aplicaciones:

• Modelar datos experimentales.
• Representar funciones continuas a partir de datos discretos.
• Gráficos por computadora (suavizar curvas).

La aproximación consiste en encontrar una función simple que se ajuste lo mejor posible a un conjunto de datos o a una función más compleja. A diferencia de la interpolación, la aproximación no requiere que la función pase exactamente por los puntos dados, sino que minimice el error global.

Ejemplos de aproximación:

• Aproximación por mínimos cuadrados : Encuentra la función que minimiza la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores observados y los valores predichos.
  • Ejemplo: Ajustar una línea recta ($y=mx+b$ ) a un conjunto de puntos dispersos.
• Aproximación mediante series de Taylor : Representa una función compleja como una suma infinita de términos más simples (polinomios).

Aplicaciones:

• Ajustar modelos matemáticos a datos experimentales.
• Simplificar funciones complicadas para facilitar cálculos.
• Procesamiento de señales y análisis de datos.

• Concepto de conjunto y notación
• Operaciones con conjuntos (unión, intersección, complemento, diferencia)
• Diagramas de Venn

• Principio de multiplicación
• Permutaciones y combinaciones

• Conceptos básicos de grafos
• Caminos y circuitos

• Medidas de tendencia central (media, mediana, moda)
• Medidas de dispersión (rango, varianza, desviación estándar)
• Representación gráfica (histogramas, diagramas de caja)

• Conceptos básicos (espacio muestral, eventos)
• Probabilidad condicional
• Teorema de Bayes

• Distribución binomial
• Distribución normal